Définition

On appel un groupe un ensemble (\(G\)) muni d'une loi de composition interne (\(*\)) tel que :

• \(*\) est associative
• \(*\) admet un élément neutre
• \(*\) est inversible

On appel abélien un groupe tel que \(*\) est commutatif.
On appel aussi groupe symétrique de \(E\) l'ensemble des permutations (bijections), noté \(\mathcal{Q}_E\).

Sous groupe

On appel \(H\) un sous groupe si \(H \subset G\) et :

• \(1_G \in H\)
• \(x*y^{-1} \in H\)

Morphisme

Soient \((G, *)\) et \((G', \Delta)\) deux groupes, \(f\) est un morphisme ssi :
\[ f(x*y) = f(x) \Delta f(y) \]
On a alors:
\[ f(e_G) = e_{G'} \quad f(x^{-1}) = (f(x))^{-1} \]

Un endomorphisme est un morphisme de \(G\) dans \(G\).
Un isomorphisme est un morphisme bijectif.
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.